شرح درس المتجهات

[الوادي 1]

بناءً على طلبكم شرح درس المتجهات ، فسوف أقوم إن شاء الله بتوضيح بعض الأمور في هذا الدرس ،،

لكن كملاحظة بأنني كنت نزلت موضوع سابق يخص المتجهات على هذا الرابط :
جمع وطرح المتجهات

[الوادي 1]

مقدمة

يجب أولا أن نميز بين الكميات العددية والكميات المتجهة
الكميات العددية تحدد بقيمة عددية فقط . مثلاً :
عندما نقيس طول الغرفة ، نقول أن طولها 5 متر ونسكت ، فنحن لا نحتاج هنا لتحديد اتجاه لهذا الطول ، لأن العدد أعطانا المعلومة الكاملة عن طول الغرفة .
لكن الكميات المتجهة لا تكتفي عند تحديدها بقيمة عددية فقط وإنما تحتاج أيضا إلى اتجاه .

مثلاً : دفع سالم صندوق بقوة 4 نيوتن ،، إذا سكتنا هنا عند القيمة العددية ، فالمعلومة ستكون ناقصة ، لأننا لم نحدد في أي اتجاه دفع سالم هذا الصندوق ، ولو حاولنا رسم هذه القوة لن نستطيع ، لأننا لا نعرف في أي اتجاه تؤثر .
لذلك الأصح أن نقول : دفع سالم صندوق بقوة 4 نيوتن في اتجاه الغرب مثلاً ، وبهذا تكون المعلومة كافية ومعبرة .

أيضا لو طلبت منك أن إزاحة صندوق لمسافة متر واحد ، ولم أحدد لك اتجاه الإزاحة ، ففي هذه الحالة ستكون المعلومة ناقصة عكس لو قلت لك : أزح الصندوق متر واحد للشرق ، هنا تكون المعلومة كاملة وصحيحة .
لذلك نلاحظ أن القوة والإزاحة كميات متجهة ، تحتاج لقيمة واتجاه لتحديدها ، بينما المسافة والزمن والمساحة والقدرة والطاقة ...........الخ تعد كميات عددية لا تحتاج إلى اتجاه عند تحديدها وتكتفي بقيمتها العددية .

من الكميات المتجهة : القوة ، الإزاحة ، الموقع ، شدة المجال الكهربائي ، الدفع ، الوزن ، التسارع ، السرعة المتجهة .

[الوادي 1]

جمع وطرح المتجهات

في البداية يجب أن نفهم أن أي متجهة لو تم عكس اتجاهه فإن إشارته ستنعكس أيضا ً كما هو موضح في الصورة التالية :

وهذه الصورة توضح المعنى أيضاً :

عملية جمع المتجهات تسمى جمع اتجاهي ،، أي أنها تختف عن الجمع العددي ، كيف ؟؟؟
لو قطع سعيد مسافة 5 متر في اتجاه الشرق ، ثم 3 متر جنوباً وأردنا أن نجمع المتجهان أي نحسب المحصلة ( الإزاحة ) فإننا نقوم برسم المتجهات كما توضحه الصورة :

من الشكل يتضح لنا أن مجموع المتجهين = 6 متر ،، لكن لو حسبنا عددياً مجموع المتجهين ( 5 + 3 ) سيكون الناتج 8 .
هذا ما أقصده أن الجمع الاتجاهي ( 6 متر ) يختلف عن الجمع العددي ( 8 متر ) .
الشكل يوضح أنه لو جمعنا المتجهين عددياً فإننا سنتحصل على قيمة عددية وهي المسافة التي قطعها سعيد ، لكن لو جمعنا المتجهين اتجاهياً فإننا سنتحصل على قيمة متجهة وهي الإزاحة .
لكن كيف يمكننا أن نطرح أحد المتجهين من الآخر ؟؟؟ العملية سهلة وهي أن نعكس اتجاه أحد المتجهين وبذلك يصبح سالب .

[الوادي 1]

إيجاد محــــــــــــــــــصلة مجموعة متجهات

لو كان لدينا عدة متجهات ( أكثر من متجهين ) فكيف نقوم بجمعهم والتحصل على المحصلة ( الإزاحة ) ؟؟

مثال سلكت زينب مسافة 4 متر جنوباً ، ثم 2 متر جنوباً ، ثم 3 متر شمالاً .
أوجد الإزاحة ؟
في مسائل كهذه يمكننا الوصول للحل بطريقتين ،، الأولى بواسطة التعويض الحسابي ، والثانية بواسطة الرسم .
أولاً بالتعويض الحسابي :-

نحن نعلم أن الإزاحة كمية متجهة ، يعني لازم نجيب قيمتها واتجاهها .
حتى نجيب الاتجاه لازم نوحد المتجهات التي لدينا في اتجاه واحد ، مثلاً نوحدها جميعها في اتجاه الجنوب ،، يعني كل المتجهات نخليها متجهة للجنوب .
لكن ماذا نفعل بالمتجهة الذي اتجاهه للشمال ؟؟ نخلي اتجاهه للجنوب ونعكس إشارته . وبذلك يكون المتجه 3 متر شالاَ = -3 متر جنوباً .
ثم نجمع المتجهات بعد ما وحدنا اتجاهها :-
-3 جنوباً + 4 جنوباً + 2 جنوباً = 3 متر جنوباً .
وهكذا تحصلنا على قيمة الإزاحة واتجاهها .

لكن ماذا لو وحدنا المتجهات للشمال ؟ هل يصلح ؟
نعم هذا ممكن ، وبذلك نعكس أي متجهه للجنوب ونغير إشارته ،، أي أن المتجه 4 متر جنوبا سيصبح -4 متر شمالا ، وكذلك المتجه 2 متر جنوبا سيكون 2 متر شمالا ، ومن ثم نجمع المتجهات :
( -4 شمال ) + ( -2 شمال ) + 3 شمال = -3 شمال
نلاحظ أن الناتج ظهر لنا بالسالب ،، ما مشكلة نخليه موجب لكن لازم نغير الاتجاه ، لأنه الاتجاه والإشارة متلازمتان ،،، يعني بيكون المتجه في النهاية = 3 متر جنوب ،، وهو نفس الناتج في البداية .

ثانياً بالرسم :
نقوم برسم الشكل الذي يمثل حركة زينب كما هو موضح بالشكل :

نقوم كما هو موضح برسم المتجه الذي يمثل الإزاحة ، وهو يبدأ من نقطة البداية وينتهي عند نقطة النهاية ، ويمكننا من الشكل أن نستنتج أن طوله 3 متر واتجاهه واضح أنه يتجه للجنوب .

[الوادي 1]

البقية لاحقاً إن شاء الله عندما اتحصل على الوقت الكافي .

موفقين بعونه تعالى .

[ملكة الزهور]

شكرا أستاذنا





جااااااااااااااااااااااااري الإنتضار

[ban0.o.0ta]

مشكور استاذنا وعساه في ميزان حسناتك
وجزاك الله كل خير

[أسيــ الصمت ـــرة]

تشكراتي الحاره لك استاذي الوادي..

وان شاء الله في ميزان حسناتك....

وفي انتظار البقيــــــــــــــــــهـ ....

[نبض الحرف]

أستـــاذ ..

عندي سؤال وجيــه ..!!

لو عطانا في السؤال متجهات لكن ما كلهم مثال شمال و جنوب

أو شرق وغرب

يعني عطاك متجه 3 شرقاً و 5 جنوباً و 9 غرباً و 4 شمالاً .. !!

كيف ممكـــن نجمعــهم حسابياً ؟؟


__

ثاني شي ..

لو تبا تطلع محصلة متجهين بالرسم

كيف يكون اتجاه المحصلة .. من ذيل أي متجه إلى رأس أي متجه .. أو العكس ..

أرجــو التوضيـــح ..!!

وتُشـــــــكر على التوضيــح السابق .. !!

[الوادي 1]

أمثلة على جمع المتجهات

مثال 1 / تتحرك سعاد 5 متر جنوباً ، ثم تواصل حركتها 3 مرت جنوباً لتنعطف بعد ذلك 2 متر غرباً ثم 4 متر شمالاً ثم 2 متر شرقاً .


نلاحظ في هذه المسألة تعدد المتجهات واتجاهها ،، مثل هذه المسائل تحل بالرسم ،، حيث نقوم برسم متجهات الحركة ، ومن هذا الرسم يمكننا التوصل للإزاحة .
الرسم التالي يوضح تحركات سعاد :

( ملاحظة الصور تقريبية )

يمكننا من الرسم التوصل وحساب الإزاحة ، حيث أن الإزاحة هي المسافة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية ، واتجاهها يكون من نقطة البداية إلى الموقع الذي توقف عنده الشخص أو الجسم .
يتضح لنا من الرسم أن طول الإزاحة = 4 متر وأن اتجاهها جنوباً .

مثال 2 / قطعت سيارة مسافة 100 كيلومتر شمالاً ، ثم 15 كيلومتر شرقاً ومن ثم 30 كيلومتر شرقاً لتنعطف بعد ذلك 25 كيلومتر جنوباً .

أولاً نقوم برسم متجهات الحركة كالتالي :

طبعاً عندما نرسم المتجهات نأخذ مقياس رسم مناسب ، مثلاً في هذه المسألة المقياس الذي سنستخدمه هو 1 سم ـــــــــ 10 كم
أي أننا سنعوض عن كل 10 كيلومتر بـ 1 سنتيمتر ،، يعني الـ ذ100 كم ستصبح 10 سم و 15 كم = 1.5 سم وهكذا .............

من الرسم نقوم بقياس الإزاحة التي ستظهر لنا وطبعاً كما تعودنا فإن اتجاه هذه الإزاحة يكون من نقطة البداية إلى نقطة النهاية ، ونلاحظ من الرسم أن اتجاه الإزاحة هو شمال الشرق .